Chứng minh rằng cos A + cos B + cos C + 1/sin A + 1/sin B + 1/sin C ≥ 2 căn3 + 3/2

Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:

\(\cos A+\cos B+\cos C+\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}\) \(+\dfrac{1}{\sin C}\ge2\sqrt{3}+\dfrac{3}{2}\)

Giải phương trình căn(2−x)=3−căn(3x+1)

Giải phương trình:
\(\sqrt{2-x}=3-\sqrt{3x+1}\)

Chứng minh x^2 + y^2 = 1

a) Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn hệ thức \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)

CMR : \(x^2+y^2=1\)

b)a)a) Cho hai điểm M(m,0), N(0,n) di động lần lượt trên hai tia Ox, Oy và thỏa mãn \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1\)

CMR :MN đi qua 1 điểm cố định .tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN

c)tìm x,y nguyên dương thỏa \(\left(10x+y\right)^2=\left(x+y\right)^3\)

d)tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+...+\left|x-2013\right|\)

Giải phương trình x^2 - 2(m + 1)x +m - 4 = 0 khi m = 1

1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x +m - 4 = 0 (1)

a) Giai phương trình (1) khi m = 1.

b) Chứng minh rằng pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ?

2. Cho phương trình x2 - 2(m -1)x +2m -3 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng pt (1) luôn có 1 nghiệm với mọi giá trị m.

b) Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng 2. Tim nghiệm còn lại

c) Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) và đặt B = x12x2 + x1x22 - 5.

Chứng minh B = 4m2 -10m + 1. Với giá trị nào của m thì B đạt GTNN ? Tìm GTNN đó của B.

d) Tim 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1 và x2 độc lập với m ?

3. Một cano xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi trở về mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông đó cano xuôi dòng 4km roi ngược dòng 8km thì hết 1h20 phút. Tính vận tốc riêng của cano và vận tốc riêng của dòng nước ?

Giải phương trình căn(x^4-x^2+4) + căn(x^4+20x^2+4)=7x

Giải phương trình:

\(\sqrt{x^4-x^2+4}+\sqrt{x^4+20x^2+4}=7x\)

Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương 1/x+y+1/y+z+1/x+z≥9/2(x+y+z)

Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

Chứng minh MHIB và MIKC nội tiếp

Cho tam giác ABC nội tiếp bên trong đường tròn tâm O . Điểm M di động trên cung nhỏ BC . Từ M kẻ MH MK MI lần lượt vuông góc với AB AC BC

a, chứng minh MHIB và MIKC nội tiếp

b, Chứng minh MB/MH = BC/HK

c, Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhât

Tính diện tích của miếng đất, có chu vi 40m

một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 40m và chiều dài gấp ba lần chiều rộng . tính diện tích của miếng đất

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1/a + 1/b

Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\)

Chứng minh tứ giác DCEF nội tiếp

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AO hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc vs AD tại F . CMR

a) Tứ giác DCEF nội tiếp

b) góc CDE = góc CEF

c) AF.AD=AE.AC