Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Lời giải chi tiết.
Ta có \(Q=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+2x+2}\Leftrightarrow Q\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)={{x}^{2}}+x+1\Leftrightarrow \left( Q-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2Q-1 \right)x+Q-1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)
\(Q\) thỏa mãn \(Q=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+2x+1}\,\,\left( x\ne -1 \right)\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Trường hợp 1. \(Q=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2.1-1 \right)x+\left( 1-1 \right)=0\Leftrightarrow x=0.\)
Trường hợp 2. \(Q\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - 4\left( {Q - 1} \right)\left( {Q - 1} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - {\left( {2Q - 2} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\left( {2Q - 1} \right) - \left( {2Q - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {2Q - 1} \right) + \left( {2Q - 2} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1.\left( {4Q - 3} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{4}\end{array}\)
Với \(Q=\frac{3}{4}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(\left( \frac{3}{4}-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2.\frac{3}{4}-1 \right)x+\frac{3}{4}-1=0\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) là \(\frac{3}{4}\) đạt được tại \(x=1.\)
Chọn đáp án A.
