Đáp án:
a) $m\ne \pm \dfrac12$
b) $m\in\{-1;0\}$
Giải thích các bước giải:
$a) \quad \begin{cases}2mx + y = 2\qquad (1)\\x + 2my= 4 - 4m\qquad (2)\end{cases}$
$(1) \Rightarrow y = 2 - 2mx\quad (3)$
Thay vào $(2)$ ta được:
$\quad x + 2m(2 - 2mx) = 4 - 4m$
$\to x + 4m - 4m^2x = 4 - 4m$
$\to (1-4m^2)x = 4 - 8m$
$\to (1-2m)(1+2m)x = 4(1-2m)\quad (*)$
+) Với $m = \dfrac12$
$(*)\Leftrightarrow 0x = 4\left(1-2\cdot\dfrac12\right)$
$\Leftrightarrow 0x = 0$
$\Rightarrow$ Hệ phương trình có vô số nghiệm
+) Với $m =-\dfrac12$
$(*)\Leftrightarrow 0x = 4\left[1-2\cdot\left(-\dfrac12\right)\right]$
$\Leftrightarrow 0x = 8$
$\Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm
+) Với $m\ne \pm \dfrac12$
$(*)\Leftrightarrow x =\dfrac{4(1-2m)}{(1-2m)(1+2m)}$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{4}{1+2m}$
Thay vào $(3)$ ta được:
$\quad y = 2 - 2m\cdot\dfrac{4}{1+2m}$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{2(1+2m) - 8m}{1+2m}$
$\Leftrightarrow y =\dfrac{2-4m}{1+2m}$
$\Rightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=\left(\dfrac{4}{1+2m};\dfrac{2-4m}{1+2m}\right)$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m \ne \pm \dfrac12$
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m \ne \pm\dfrac12$ (câu a)
Ta lại có:
$\quad \begin{cases}x\in\Bbb Z\\y \in\Bbb Z\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{4}{1+2m}\in\Bbb Z\\\dfrac{2-4m}{1+2m} \in\Bbb Z\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{4}{1+2m}\in \Bbb Z\\-2 +\dfrac{4}{1+2m}\in\Bbb Z\end{cases}$
$\Leftrightarrow 1 + 2m \in Ư(4)$
$\Leftrightarrow 1 +2m \in \{-4;-2;-1;1;2;4\}$
mà $1 + 2m$ lẻ $\quad \forall m\in\Bbb Z$
nên $1 + 2m \in \{-1;1\}$
$\Leftrightarrow 2m \in \{-2;0\}$
$\Leftrightarrow m\in \{-1;0\}$ (nhận)
Vậy $m\in\{-1;0\}$
