Đáp án:
$n=5$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
4\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x(1)\\
\Leftrightarrow 4\left( {\sin x.\dfrac{1}{2} + \cos x.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\left( {\cos x.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \sin x.\dfrac{1}{2}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 \cos x + \sin x} \right)^2} = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\
\Leftrightarrow 3{\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x = {a^2} + 2\sqrt 3 \sin x\cos x + {\sin ^2}x - {\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = {a^2}\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2}}}{4}
\end{array}$
Để phương trình $(1)$ có nghiệm
$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm
$\begin{array}{l}
0 \le \dfrac{{{a^2}}}{4} \le 1\\
\Leftrightarrow {a^2} \le 4\\
\Leftrightarrow - 2 \le a \le 2
\end{array}$
Mà $a \in Z \Rightarrow a \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$
$\to$ Có $5$ giá trị nguyên của $a$ để phương trình $(1)$ có nghiệm
Vậy $n=5$
