\(\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y(x-5)-1=4y^{2}-x+2\sqrt{2y}\; \; (1)\\ 4y(x-4)+x=2\sqrt{x-1}\; \; (2) \end{matrix}\right.\)
Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.,\) với điều kiện đó
\((1)\Leftrightarrow x^{2}+4xy-20y-1=4y^{2}-x+2\sqrt{2y}\)
\((2)\Leftrightarrow 4xy=16y+2\sqrt{x-1}-x.\) Thay vào (1) ta có:
\(x^{2}+2\sqrt{x-1}=(2y+1)^{2}+2\sqrt{(2y+1)-1}\)
Xét hàm số \(u=g(t)=t^{2}+2\sqrt{t-1}\) với \(t\in [1;+\infty ).\) Hàm số này luôn đồng biến
Vì thế \(x^{2}+2\sqrt{x-1}=(2y+1)^{2}+2\sqrt{(2y+1)-1}\)
\(\Leftrightarrow x=2y+1\Leftrightarrow x-1=2y\)
Thay vào (2) ta được
\(2x^{2}-9x+8=2\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow 2.(x-2)^{2}=(\sqrt{x-1}+1)^{2}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \sqrt{x-1}=\sqrt{2}x-2\sqrt{2}-1\\\sqrt{x-1}=-\sqrt{2}x+2\sqrt{2}-1 \end{matrix}\)
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{2}x-2\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}-(9+2\sqrt{2})x+10+4\sqrt{2}=0\\\sqrt{2}x-2\sqrt{2}-1> 0 \end{matrix}\right.\)
Phương trình bậc hai \(2x^{2}-(9+2\sqrt{2})x+10+4\sqrt{2}=0\) có
\(\Delta =(2\sqrt{2}+1)^{2}\) nên có hai nghiệm là \(x_{1}=\frac{5+2\sqrt{2}}{2}\) và \(x_{2}=2.\)
Nghiệm \(x_{2}\) bị loại vì \(\sqrt{2}x_{2}-2\sqrt{2}-1< 0\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\sqrt{x-1}=-\sqrt{2}x+2\sqrt{2}-1\Leftrightarrow x=\frac{5-2\sqrt{2}}{2}\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((\frac{5-2\sqrt{2}}{2};\frac{3-2\sqrt{2}}{4})\) và \((\frac{5+2\sqrt{2}}{2};\frac{3+2\sqrt{2}}{4})\)
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
[a1] [a2] [a3] [a4] [a5] [a6] [a7] [a8]
