Đáp án:
\(\begin{array}{l}
1)\quad S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi;\ \dfrac{\pi}{4} + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}\\
2)\quad S = \left\{\arctan\left(-1 -\sqrt2\right) + k\pi;\ \arctan\left(-1+\sqrt2\right) + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}\\
3)\quad S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi;\ \arctan\left(-\dfrac13\right) + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
1)\quad \sin^2x - \sin2x + \cos^2x -1 =0\\
\bullet\quad \cos x = 0\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad \sin^2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\ \text{là một họ nghiệm của phương trình}\\
\bullet\quad \cos x \ne 0\\
\text{Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:}\\
\quad \tan^2x - 2\tan x + 1 -\dfrac{1}{\cos^2x} = 0\\
\Leftrightarrow \tan^2x - 2\tan x + 1 - (\tan^2x + 1) =0\\
\Leftrightarrow \tan x =0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\text{Vậy}\ S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi;\ \dfrac{\pi}{4} + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}\\
2)\quad \cos^2x - 2\sin x\cos x - \sin^2x = 0\\
\text{Nhận thấy $\cos x =0$ không là nghiệm của phương trình đã cho}\\
\text{Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:}\\
\quad \tan^2x + 2\tan x -1 =0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\tan x = -1 - \sqrt2 \\\tan x = -1 + \sqrt2\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \arctan\left(-1 -\sqrt2\right) + k\pi\\x = \arctan\left(-1+\sqrt2\right) + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)\\
\text{Vậy}\ S = \left\{\arctan\left(-1 -\sqrt2\right) + k\pi;\ \arctan\left(-1+\sqrt2\right) + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}\\
3)\quad \sin^2x - 3\sin x\cos x = 1\\
\bullet\quad \cos x = 0\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\text{Phương trình trở thành:}\\
\quad \sin^2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\ \text{là một họ nghiệm của phương trình}\\
\bullet\quad \cos x \ne 0\\
\text{Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:}\\
\quad \tan^2x - 3\tan x = \dfrac{1}{\cos^2x}\\
\Leftrightarrow \tan^2x - 3\tan x = \tan^2x + 1\\
\Leftrightarrow \tan x =-\dfrac13\\
\Leftrightarrow x = \arctan\left(-\dfrac13\right) + k\pi\quad (k\in\Bbb Z)\\
\text{Vậy}\ S = \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi;\ \arctan\left(-\dfrac13\right) + k\pi\ \Bigg|\ k\in\Bbb Z\right\}
\end{array}\)
