Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :
`hat{BAD}=hat{BHD}=90^o` (gt)
`BD` chung
`hat{ABD}=hat{HBD}` (gt)
`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AD=DH` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
`b,`
Xét `ΔDHC` có :
`hat{DHC}=90^o` (gt)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`DC` là cạnh lớn nhất
`-> DC > DH`
mà `AD=DH`
`-> AD < CD`
$\\$
`c,`
Có : `KH⊥BC` (gt)
`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`
Có : `CA⊥BK` (gt)
`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`
Xét `ΔBKC` có :
`KH` là đường cao
`CA` là đường cao
`KH` cắt `CA` tại `D`
`-> D` là trực tâm của `ΔBKC`
Do `ΔABC` vuông tại `A` (gt)
`-> hat{ACB} + hat{B}=90^o` (2 góc phụ nhau)
`-> hat{B}=90^o - hat{ACB}=90^o-30^o`
`-> hat{B}=60^o`
Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có :
`hat{ADK}=hat{HDC}` (2 góc đối đỉnh)
`AD=HD` (cmt)
`hat{KAD}=hat{CHD}=90^o` (gt)
`-> ΔADK = ΔHDC` (góc - cạnh - góc)
`-> AK=HC` (2 cạnh tương ứng)
Do `ΔABD = ΔHBD` (cmt)
`-> AB=HB` (2 cạnh tương ứng)
Có : `AB + AK = BK, HB + HC = BC`
mà `AB = HB` (cmt) và `AK=HC` (cmt)
`-> BK = BC`
`-> ΔBKC` cân tại `B`
mà `hat{B}=60^o` (cmt)
`-> ΔBKC` đều
Lại có : `D` là trực tâm của `ΔBKC` (cmt)
`-> D` là trọng tâm của `ΔBKC`
$\\$
`d,`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔADK` có :
`AD + AK > DK` `(1)`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔHDC` có :
`HD + HC > DC` `(2)`
Lấy `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`-> AD + AK + HD + HC > DK + DC`
mà `AD =HD` (cmt) và `AK=HC` (cmt)
`-> AD + AK + AD + AK > DK + DC`
`-> (AD + AD) + (AK+AK) > DK + DC`
`-> 2AD + 2AK > DK + DC`
`-> 2 (AD + AK) > DK + DC`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔDKC` có :
`DK + DC > KC`
mà `2 (AD + AK) > DK + DC` (cmt)
`-> 2 (AD + AK) > DK + DC > KC`
`-> 2 (AD + AK) > KC`
`-> AD + AK > (KC)/2`
