Đáp án:

 1) ${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$; $d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {165} }}{30}$

2) ${V_{S.ABC}} = 3{a^3}\sqrt 3 $

Giải thích các bước giải:

 1) Ta có:

Do S.ABC là chóp tam giác đều nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác ABC.

Khi đó:

$SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}$

Suy ra:

${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$

Ta có:

$d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SAB}}}}$

Mà $\begin{array}{l}
\Delta SAB;SA = SB = 2a;AB = a \Rightarrow p = \dfrac{{SA + SB + SC}}{2} = \dfrac{{5a}}{2}\\
 \Rightarrow {S_{SAB}} = \sqrt {\dfrac{{5a}}{2}\left( {\dfrac{{5a}}{2} - 2a} \right)\left( {\dfrac{{5a}}{2} - 2a} \right)\left( {\dfrac{{5a}}{2} - a} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\\
 \Rightarrow d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt {165}}}{30}
\end{array}$

Vậy ${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$; $d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {165}}}{30}$

2) Gọi D là trung điểm AB

Ta có:

$\begin{array}{l}
\left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD,DH} \right) = \widehat {SDH} = {30^0}\\
\Delta SDH;\widehat {SHD} = {90^0};\widehat {SDH} = {30^0};SH = a\\
 \Rightarrow DH = a.\cot \widehat {SDH} = a.\cot {30^0} = a\sqrt 3 \\
 \Rightarrow CD = 3DH = 3a\sqrt 3 \\
 \Rightarrow AB = \dfrac{{CD}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 6a\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {6a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 9{a^2}\sqrt 3 \\
 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.9{a^2}\sqrt 3  = 3{a^3}\sqrt 3 
\end{array}$

Vậy ${V_{S.ABC}} = 3{a^3}\sqrt 3 $