Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số dương ta được
$\begin{array}{l} 1=\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \le \dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2}\\ = \dfrac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{2} = a + b + c \end{array}$
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge 2.\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}.\dfrac{{a + b}}{4}} = 2.\dfrac{a}{2} = a\\ \dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{b + c}}.\dfrac{{b + c}}{4}} = 2.\dfrac{b}{2} = b\\ \dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{c + a}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{c + a}}.\dfrac{{c + a}}{4}} = 2.\dfrac{c}{2} = c \end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} \ge \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{a + b + c}}{2} \ge \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} }}{2} = \dfrac{1}{2} \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = b = c\\ \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} = 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3} \end{array}$
