Đáp án: $y\in\{0,1\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\log_3(x+2y)=\log_2(x^2+y^2)=t$
$\to \begin{cases} x+2y=3^t\\ x^2+y^2=2^t\end{cases}$
$\to \begin{cases} x+2y-3^t=0\\ x^2+y^2=2^t\end{cases}$
Để tồn tại $x,y\to $Đường thẳng $(d)x+2y-3^t=0$ và đường tròn $(C)x^2+y^2=2^t$ giao nhau
Ta có $I(0,0), R=\sqrt{2^t}$ là tâm và bán kính của $(C)$
$\to $Để $(d)\cap (C)\to d(I,d)\le R$
$\to \dfrac{|0+2\cdot 0-3^t|}{\sqrt{1^2+2^2}}\le \sqrt{2^t}$
$\to \dfrac{3^t}{\sqrt{5}}\le \sqrt{2^t}$
$\to 3^t\le \sqrt{5}\cdot \sqrt{2^t}$
$\to (3^t)^2\le 5\cdot 2^t$
$\to 3^{2t}\le 5\cdot 2^t$
$\to 9^{t}\le 5\cdot 2^t$
$\to (\dfrac{9}{2})^{t}\le 5$
$\to t\le \log_{\frac92}5$
$\to 2^t\le 2^{\log_{\frac92}5}$
Ta có:
$x^2+y^2=2^t$
$\to 0\le y^2\le 2^t\le 2^{\log_{\frac92}5}$ vì $y\in Z$
$\to 0\le y^2\le 2$
$\to y^2\in \{0,1\}$
$\to y\in\{0,-1,1\}$
Thử lại:
+) $y=0$
$\to \begin{cases} x=3^t\\ x^2=2^t\end{cases}$
$\to \begin{cases} x=3^t\\ (3^t)^2=2^t\to t=0\text{(chọn)}\end{cases}$
+) $y=-1$
$\to \begin{cases} x-2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{cases}$
$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ (3^t+2)^2+1=2^t\end{cases}$
$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ 3^{2t}+4\cdot 3^t+4+1=2^t\end{cases}$
$\to \begin{cases} x=3^t+2\\ 9^{t}+4\cdot 3^t+5-2^t=0\end{cases}$
Ta có : $f(t)=9^{t}+4\cdot 3^t+5-2^t$
Nếu $t<0\to 2^t<5\to 5-2^t>0\to f(t)>0\to f(t)=0$ vô nghiệm
Nếu $t\ge 0\to 9^t\ge 2^t\to 9^t-2^t\ge 0\to f(t)>0\to f(t)=0$ vô nghiệm
$\to y=-1$ loại
Với $y=1$
$\to \begin{cases} x+2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{cases}$
$\to (3^t-2)^2+1=2^t$
$\to 9^t-4\cdot 4^t+5-2^t=0$
Đặt $f(t)=9^t-4\cdot 4^t+5-2^t$
$\to f(0)\cdot f(1)=(9^0-4\cdot 4^0+5-2^0)(9^1-4\cdot 4^1+5-2^1)=-4<0$
$\to f(t)=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$
$\to y=1$ chọn
