1) Áp dụng hệ thức lượng, ta được:
$AB^2 = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{6^2}{10} = \dfrac{18}{5} \, cm$
$\Rightarrow HC = BC - BH = 10 - \dfrac{18}{5} = \dfrac{32}{5} \, cm$
$AH^2 = BH.CH \Rightarrow AH = \sqrt{BH.CH} = \sqrt{\dfrac{18}{5}\cdot\dfrac{32}{5}} = \dfrac{12}{5} \, cm$
$\begin{cases}AH^2 = AD.AB\\AH^2 = AE.AC \end{cases}$
$\Rightarrow \dfrac{AD.AB}{AE.AC} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\sqrt{BC^2 - AB^2}}{AB} = \dfrac{\sqrt{10^2 - 6^2}}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
2) Xét tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$
$\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH = DE$
Ta có: $\sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC.\sin\widehat{B}$
$\sin\widehat{C} = \dfrac{AH}{AC} \Rightarrow AH = AC.\sin\widehat{C} = AC.\cos\widehat{B}$
$\Rightarrow AH = BC.\sin\widehat{B}.\cos\widehat{B}$
$\Rightarrow DE = BC.\sin\widehat{B}.\cos\widehat{B}$
