Lời giải:

Bài 8:

\( \begin{array}{l}a) 2016^{100}+2016^{99}\\=2016^{99}(2016+1)\\=2016^{99}.2017⋮2017(đpcm)

 \\b)12345^{2016}-12345^{2015}\\=12345^{2015}(12345-1)\\=12345^{2015}.12344⋮12344(đpcm)\\c)3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\\=3^n.9-2^n.4+3^n-2^n\\=3^n(9+1)-2^n(4+1)\\=3^n.10-2^n.5\\=3^n.10-2^{n-1}.10\\=10(3^n-2^{n-1})⋮10(đpcm)\\d)\text{Ta có}: 10^n + 18n - 1 \\= (10^n - 1) + 18n 
\\= 99...9 + 18n  (\text{số 99...9 có n chữ số 9}) 
\\= 9(11...1 + 2n) (\text{số 11...1 có n chữ số 1}) 
\\= 9.T\end{array} \)
Xét biểu thức trong ngoặc $T = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n$ (số `11...1` có `n` chữ số `1`). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho `3`.

Số $11...1 (n$ chữ số `1`) có tổng các chữ số là $1 + 1 + ... + 1 = n$ (vì có `n` chữ số `1`). 
$⇒ 11...1 (n$ chữ số `1`) và `n` có cùng số dư trong phép chia cho `3` 
$⇒ 11...1 (n$ chữ số `1`) `- n` chia hết cho `3` 
$⇒ T$ chia hết cho `3` 
$⇒ 9.T$ chia hết cho `27` hay $10^n + 18n - 1⋮ 27(đpcm)$  

Bài 9:

\( \begin{array}{l}
\text{Đặt N}=(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{6})(1-\dfrac{1}{10})(1-\dfrac{1}{15})...(1-\dfrac{1}{253})
\\=\dfrac{2}{3}.\dfrac{5}{6}.\dfrac{9}{10}.\dfrac{14}{15}...\dfrac{252}{253}
\\=\dfrac{4}{6}.\dfrac{10}{12}.\dfrac{18}{20}.\dfrac{28}{30}...\dfrac{504}{506}
\\=\dfrac{1.4}{2.3}.\dfrac{2.5}{3.4}.\dfrac{3.6}{4.5}.\dfrac{4.7}{5.6}...\dfrac{21.24}{22.23}
\\=\dfrac{(1.2.3.4...21)(4.5.6.7...24)}{(2.3.4.5...22)(3.4.5.6...23)}
\\=\dfrac{1}{22}.\dfrac{24}{3}
\\=\dfrac{4}{11}<\dfrac{2}{5}(\text{do}\dfrac{20}{55}<\dfrac{22}{55})
\\⇒N<\dfrac{2}{5} \text{hay} (1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{6})(1-\dfrac{1}{10})(1-\dfrac{1}{15})...(1-\dfrac{1}{253}) <\dfrac{2}{5}
\end{array} \)

Đáp án:8. a) 2016^100+2016^99=2016^99.(2016+1)=2016^99.2017.

Phần sao bạn chắc hiểu rồi ha.

b)12345^2016-12345^2015=12345^2015.(12345-1)=12345^2015.12344

c) (3^n+2 +3^n) - (2^n+2 + 2^n)= 3^n . 10 - 2^n .5= 10.( 3^n - 2^(n-1))

d)

10n+18n-1

=100..0 nchữ số 0 +9.2n-1

=999...9 nchứ số9 + 9 . 2n

=9.(111...1 n chữ số1 . 2n

=9.(111...1 nchữ số1 -n +3n

=9.(111...1 nchữ số1 ) + 27n(1)

Vì 111..1 nchữ số1 và n có cùng số dư trong phép chia cho 9 nên 111..1 nchữ số1 - n chia hết cho 9(2)

Từ (1) và (2) ta có;

A=9.(111...1 nchữ số1 ) +9.3 chia hết cho 9(lẽ ra cái nàyphải viết dấu ba chấm theo hàng dọc)

A=3.2.(111...1 nchữ số1 ) +9.3 chia hết cho 3(lẽ ra cái nàyphải viết dấu ba chấm theo hàng dọc)

Bài 9 mình lười quá

Giải thích các bước giải: