Giải thích các bước giải:

 a) ĐKXĐ: $a\ge 0; a\ne 4$

Ta có:

$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  + 3}} - \dfrac{5}{{a + \sqrt a  - 6}} + \dfrac{1}{{2 - \sqrt a }}\\
 = \dfrac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  + 3}} - \dfrac{5}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt a  - 2}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) - 5 - \left( {\sqrt a  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{a - 4 - 5 - \sqrt a  - 3}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{a - \sqrt a  - 12}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 3} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt a  - 4}}{{\sqrt a  - 2}}
\end{array}$

Vậy $A = \dfrac{{\sqrt a  - 4}}{{\sqrt a  - 2}}$ khi $a\ge 0; a\ne 4$

b) Ta có:

$a = 7 - 4\sqrt 3 $ thỏa mãn ĐKXĐ.

Mà $a = 7 - 4\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  - 2} \right)^2} \Rightarrow \sqrt a  = 2 - \sqrt 3 $

Như vậy khi $a = 7 - 4\sqrt 3 $ thì:

$A = \dfrac{{2 - \sqrt 3  - 4}}{{2 - \sqrt 3  - 2}} = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 3 }}{{ - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$

Vậy $A = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$ khi $a = 7 - 4\sqrt 3 $

c) Để $A<1$ 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a  - 4}}{{\sqrt a  - 2}} < 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a  - 4}}{{\sqrt a  - 2}} - 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a  - 4 - \sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  - 2}} < 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt a  - 2}} < 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt a  - 2 > 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2\\
 \Leftrightarrow a > 4
\end{array}$

Vậy $A < 1 \Leftrightarrow a > 4$