Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAHI` và `ΔKCI` có :
`IA = IK` (giả thiết)
`HI = CI` (Do `I` là trung điểm của `CH`)
`hat{AIH} = hat{KIC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔAHI = ΔKCI` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AH = CK` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
`b,`
Xét `ΔAHC` có :
`hat{AHC} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AC` là cạnh lớn nhất
`-> AC > AH`
mà `AH = CK` (chứng minh trên)
`-> CK < AC`
$\\$
$\\$
`c,`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`hat{AHB} = hatr{AHC} = 90^o`
`AH` chung
`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
`-> BH =CH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> CH = BH`
Do `I` là trung điểm của `HC`
`-> HI = 1/2 CH`
mà `CH =BH` (chứng minh trên)
`-> HI = 1/2 BH`
`-> (HI)/(BH) = 1/2`
Có : `IA = IK` (giả thiết)
`-> I` là trung điểm của `AK`
`-> BI` là đường trung tuyến của `ΔABK`
Có : `M` là trung điểm của `BK`
`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔABK`
Xét `ΔABK` có :
`(HI)/(BH) =1/2`
`BI` là đường trung tuyến
`-> H` là trọng tâm của `ΔABK`
mà `AM` là đường trung tuyến của `ΔABK`
`-> AM` đi qua trọng tâm `H`
`-> A,H,M` thẳng hàng
