Ta áp dụng công thức $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ nên ta có:
$\begin{array}{l} {y^3} = 2 + \sqrt x + 2 - \sqrt x + 3\sqrt[3]{{4 - x}}.y\\ \Leftrightarrow {y^3} = 4 + 3\sqrt[3]{{4 - x}}.y\\ \Leftrightarrow y\left( {{y^2} - 3\sqrt[3]{{4 - x}}} \right) = 4 \end{array}$
Từ đó ta có $\sqrt[3]{4-x}$ phải là số nguyên
$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 \vdots y \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;4} \right\}\\ y = 1 \Rightarrow {y^2} - 3\sqrt[3]{{4 - x}} = 4\\ \Leftrightarrow - 3 = 3\sqrt[3]{{4 - x}} \Rightarrow 4 - x = - 1 \Rightarrow x = 5\\ y = 2 \Rightarrow {y^2} - 3\sqrt[3]{{4 - x}} = 2\\ \Leftrightarrow 4 - 3\sqrt[3]{{4 - x}} \Leftrightarrow 2 = 3\sqrt[3]{{4 - x}}(L)\\ y = 4 \Rightarrow {y^2} - 3\sqrt[3]{{4 - x}} = 1\\ \Leftrightarrow 16 - 3\sqrt[3]{{4 - x}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{4 - x}} = 5\\ \Leftrightarrow 4 - x = 125 \Leftrightarrow x = - 121\left( L \right)\\ \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {5;1} \right) \end{array}$
