Gọi độ dài $3$ đường trung tuyến lần lượt là:
`m_a=10;m_b=9;m_c=11`
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
+) `10^2=m_a^2={2(b^2+c^2)-a^2}/4`
`<=>-a^2+2b^2+2c^2=400` $(1)$
+) `9^2=m_b^2={2(a^2+c^2)-b^2}/4`
`<=>2a^2-b^2+2c^2=324` $(2)$
+) `11^2=m_c^2={2(a^2+b^2)-c^2}/4`
`<=>2a^2+2b^2-c^2=484` $(3)$
Từ $1);(2);(3)$ ta có hpt:
$\begin{cases}-a^2+2b^2+2c^2=400\\2a^2-b^2+2c^2=324\\2a^2+2b^2-c^2=484\end{cases}$
Giải hpt ta được:
$\begin{cases}a^2=\dfrac{1216}{9}\\b^2=\dfrac{1444}{9}\\c^2=\dfrac{964}{9}\end{cases}$ $⇔\begin{cases}a=\dfrac{8\sqrt{19}}{3}\\b=\dfrac{38}{3}\\c=\dfrac{2\sqrt{241}}{3}\end{cases}$
Áp dụng định lý cosin ta có:
`a^2=b^2+c^2-2bc cosA`
`=>cosA={b^2+c^2-a^2}/{2bc}={{149}/{19}}/{sqrt{241}}`
Ta có: `0<sin A<180°=>sinA>0`
`\qquad sin^2A+cos^2A=1`
`=>sinA=\sqrt{1-cos^2 A}={180}/{19} \sqrt{2/{241}}`
`S_{ABC}=1/ 2 bcsinA`
`=1/ 2 . {38}/ 3 . {2\sqrt{241}}/3 . {180}/{19} \sqrt{2/{241}}=40\sqrt{2}\ (đvdt)`
Vậy diện tích $∆ABC$ bằng $40\sqrt{2}\ (đvdt)$
_______.
Bạn có thể sử dụng công thức Hê rông
`S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`
Với $p$ là nửa chu vi $∆ABC$
(căn nhiều quá nên mình không làm)
