1)
$MA,MD$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$
$\begin{cases}\widehat{MDO}=90{}^\circ\\\widehat{MAP}=90{}^\circ\end{cases}$
$\to \widehat{MDO}+\widehat{MAO}=180{}^\circ $
$\to AMDO$ là tứ giác nội tiếp
2)
Ta có:
$\widehat{MDA}=\widehat{DBA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AD$ )
Mà:
$\begin{cases}\widehat{MDA}+\widehat{MDC}=90{}^\circ\\\widehat{DBA}+\widehat{MCD}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên:
$\widehat{MDC}=\widehat{MCD}$
$\to\Delta{MCD}$ cân tại $M$
$\to MC=MD$
3)
$\Delta DAB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{BDA}=90{}^\circ $
Xét $\Delta BDA$ và $\Delta BAC$, ta có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BDA}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $
Nên $\Delta BDA\sim \Delta BAC$
$\to\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$
$\to BD.BC=BA^2$
Mà $BA=2R$
Nên $BD.BC={{\left( 2R \right)}^{2}}=4{{R}^{2}}\,\,\,\left( =const \right)$
Vậy tích $BD.BC$ luôn luôn bằng $4{{R}^{2}}$ khi $D$ di động trên $\left( O;R \right)$
