`a)` $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của `(O);(O')`
`=>\hat{OBC}=\hat{O' CB}=90°`
Ta có:
`\hat{OBC}+\hat{O'CB}+\hat{BO O'}+\hat{C O'O}=360°`
`=>90°+90°+\hat{BO O'}+\hat{C O'O}=360°`
`=>\hat{BO O'}+\hat{C O'O}=180°`
`=>\hat{AOB}+\hat{AO'C}=180°` $(1)$
$\\$
`\qquad OA=OB`
`=>∆OAB` cân tại $O$
`=>\hat{AOB}=180°-2\hat{OAB}` $(2)$
$\\$
`\qquad O'C=O'A`
`=>∆O' AC` cân tại $O'$
`=>\hat{AO'C}=180°-2\hat{O'AC}` $(3)$
$\\$
`(1);(2);(3)`
`=>180°-2\hat{OAB}+180°-2\hat{O' AC}=180°`
`=>180°=2(\hat{OAB}+\hat{O'AC})`
`=>\hat{OAB}+\hat{O' AC}=90°`
`=>\hat{BAC}=180°-(\hat{OAB}+\hat{O'AC})=90°`
`=>∆ABC` vuông tại $A$
$\\$
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$; tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $M$
`=>MA;MB` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ của `(O)`
`=>MA=MB`
$MA;MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ của `(O')`
`=>MA=MC`
`=>MB=MC`
`=>M` là trung điểm $BC$
`=>AM` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=MB=MC=1/ 2 BC`
`=>A;B;C` thuộc đường tròn `(M)` đường kính `BC` (đpcm)
$\\$
`b)` Từ câu a ta có $MA\perp O O'$ tại $A$
Mà `MA= 1/ 2 BC`
`=>MA` là bán kính của `(M;{BC}/2)`
`=>O O'` là tiếp tuyến tại $A$ của `(M;{BC}/2)`
$\\$
`c)` $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$
`=>MO` là phân giác của `\hat{AMB}`
`=>\hat{AMB}=2\hat{OMA}`
$\\$
$MA; MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$
`=>MO'` là phân giác của `\hat{AMC}`
`=>\hat{AMC}=2\hat{O'MA}`
$\\$
Ta có: `\hat{AMB}+\hat{AMC}=180°` (hai góc kề bù)
`=>2\hat{OMA}+2\hat{O'MA}=180°`
`=>\hat{OMA}+\hat{O'MA}=90°`
`=>\hat{O MO'}=90°`
`=>∆O MO'` vuông tại $M$
$\\$
Gọi $I$ là trung điểm $O O'$
`=>MI` là trung tuyến $∆OM O'$ vuông tại $M$
`=>MI=IO=IO'=1/ 2 O O'`
`=>` Đường tròn đi qua `O;M;O'` có tâm `I` là trung điểm $O O'$ và bán kính `1/2O O'`
$\\$
`d)` Ta có: $OB$//$O'C$ (cùng $\perp BC$)
`=>OBCO'` là hình thang
Vì $M$ là trung điểm $BC$ (câu a)
`\qquad I` là trung điểm $O O'$ (câu c)
`=>IM` là đường trung bình hình thang $OBC O'$
`=>IM`//$OB$//$O'C$
`=>IM`$\perp BC$ tại $M$ (do $OB\perp BC$)
Mà `IM=1/ 2 O O'` (câu c)
`=>IM` là bán kính của đường tròn đi qua `O;M;O'`
`=>BC` là tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn đi qua `O;M;O'` (đpcm)
