Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Đặt \(AB = x\), dựa vào chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) tính độ dài \(BC\) theo \(x\).
Dựa vào bán kính đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\) là \(R = 5\,\,\left( {cm} \right)\), tính \(AC\) và áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) lập phương trình tìm \(x\), từ đó suy ra độ dài \(AB,\,\,BC\).
Tính \({S_{ABCD}} = AB.BC\).
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: Hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi bằng \(28\,\,\left( {cm} \right)\) nên có nửa chu vi bằng \(14\,\,\left( {cm} \right)\).
Đặt \(AB = x\,\,\left( {cm} \right)\) (ĐK: \(0 < x < 14\)) \( \Rightarrow CD = 14 - x\,\,\left( {cm} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), khi đó \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\).
Hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp đường tròn có bán kính \(R = 5\,\,\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow OA = 5\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow AC = 2OA = 10\,\,\left( {cm} \right)\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có: \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 28x + 196 = 100\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 28x + 96 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 8x + 48 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 6} \right) - 8\left( {x - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 8\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\).
Với \(x = 6 \Rightarrow AB = 6\,\,\left( {cm} \right),\,\,BC = 8\,\,\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow \) Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(S = 6.8 = 48\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Với \(x = 8 \Rightarrow AB = 8\,\,\left( {cm} \right),\,\,BC = 6\,\,\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow \) Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(S = 8.6 = 48\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) bằng \(48\,\,c{m^2}\).
Chọn D.
