Lời giải:
Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CBA$ có:
$\begin{cases}\widehat{B}:\ \text{góc chung}\\\widehat{AHB} = \widehat{BAC} =90^\circ\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABH \backsim\triangle CBA\ (g.g)$
$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac13$
$\Rightarrow \dfrac{S_{ABH}}{S_{ABC}} = \dfrac19$
$\Rightarrow S_{ABH} = \dfrac19S_{ABC}$
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\quad \dfrac{MH}{AM} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac13$
$\Rightarrow \dfrac{MH}{AH} = \dfrac14$
$\Rightarrow \dfrac{S_{BHM}}{S_{ABH}} = \dfrac14$
$\Rightarrow S_{BHM} = \dfrac14S_{ABH}$
$\Rightarrow S_{BHM} = \dfrac14\cdot \dfrac19S_{ABC}$
$\Rightarrow S_{BHM} = \dfrac{1}{36}S_{ABC}$
hay $\dfrac{S_{ABC}}{S_{BHM}} = 36$