`10)` Xét $∆OAC$ có:
`OA^2+OC^2=R^2+R^2=2R^2`
`AC^2=(R\sqrt{2})^2=2R^2`
`=>OA^2+OC^2=AC^2`
`=>∆OAC` vuông tại $O$ (định lý Pytago đảo)
Mà `OA=OC=R=>∆OAC` cân tại $O$
`=>∆OAC` vuông cân tại $O$
`=>\hat{OAC}=\hat{OCA}=45°`
$\\$
`OA=OB=R=>∆OAB` cân tại $O$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ `=>AH={AB}/2={R\sqrt{3}}/2`
`=>OH` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OAB$
`=>∆OAH` vuông tại $H$
`=>cos \hat{OAH}={AH}/{OA}`
`={{R\sqrt{3}}/2}/R=\sqrt{3}/2`
`=>\hat{OAH}=30°`
`=>\hat{OAB}=30°=\hat{OBA}`
$∆OAB$ cân tại $O$
`=>\hat{AOB}=180°-2\hat{OAB}=180°-2.30°=120°`
$\\$
`\hat{BOC}=360°-(\hat{AOB}+\hat{AOC})`
`=360°-(120°+90°)=150°`
$\\$
`OB=OC=R=>∆OBC` cân tại $O$
`=>\hat{OBC}=\hat{OCB}={180°-\hat{BOC}}/2`
`={180°-150°}/2=15°`
`=>\hat{ABC}=\hat{OBA}+\hat{OBC}=30°+15°=45°`
`\qquad \hat{BAC}=\hat{OAB}+\hat{OAC}=30°+45°=75°`
`\qquad \hat{ACB}=\hat{OCA}+\hat{OCB}=45°+15°=60°`
Vậy $∆ABC$ có `\hat{A}=75°;\hat{B}=45°;\hat{C}=60°`
$\\$
`18)` `\hat{DOE}=90°`
`=>∆ODE` vuông tại $O$
`=>DE^2=OD^2+OE^2=R^2+R^2=2R^2` (định lý Pytago)
`=>DE=R\sqrt{2}`
$\\$
Vẽ $OH\perp DE$ tại $H$
`=>H` là trung điểm $DE$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>OH` là trung tuyến $∆ODE$
`=>OH=DH=EH=1/ 2 DE={R\sqrt{2}}/2`
$\\$
Xét $∆OCH$ vuông tại $H$
`=>OH^2+CH^2=OC^2` (định lý Pytago)
`=>CH^2=OC^2-OH^2=(3R)^2-({R\sqrt{2}}/2)^2`
`=9R^2-{2R^2}/4={34R^2}/4`
`=>CH={R\sqrt{34}}/2`
$\\$
`CD=CH+DH={R\sqrt{34}}/2+{R\sqrt{2}}/2`
`={R(\sqrt{34}+\sqrt{2})}/2`
`CE=CH-EH={R\sqrt{34}}/2-{R\sqrt{2}}/2`
`={R(\sqrt{34}-\sqrt{2})}/2`
Vậy `CD={R(\sqrt{34}+\sqrt{2})}/2; CE={R(\sqrt{34}-\sqrt{2})}/2`
$\\$
`b)` Ta có:
`\qquad CA=OA+OC=R+3R=4R`
`\qquad CB=OC-OB=3R-R=2R`
`=>CA.CB=4R.2R=8R^2` (*)
`\qquad CD.CE`
`={R(\sqrt{34}+\sqrt{2})}/2 . {R(\sqrt{34}-\sqrt{2})}/2`
`={R^2}/4 . (34-2)=8R^2` (**)
Từ (*);(**)`=>CD.CE=CA.CB` (đpcm)
