Vì $BM;CN$ là đường cao của $∆ABC$
`=>\hat{BMC}=\hat{BNC}=90°`
`=>` Tứ giác $BCMN$ có hai đỉnh kề nhau $M;N$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông
`=>BCMN` nội tiếp
`=>\hat{PNB}=\hat{PCM}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Xét $∆PNB$ và $∆PCM$ có:
`\qquad \hat{P}` chung
`\qquad \hat{PNB}=\hat{PCM}`
`=>∆PNB∽∆PCM` (g-g)
`=>{PN}/{PC}={PB}/{PM}`
`=>PN.PM=PB.PC` $(1)$
$\\$
Vì $AKBC$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{PKB}=\hat{PCA}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Xét $∆PKB$ và $∆PCA$ có:
`\qquad \hat{P}` chung
`\qquad \hat{PKB}=\hat{PCA}`
`=>∆PKB∽∆PCA` (g-g)
`=>{PK}/{PC}={PB}/{PA}`
`=>PK.PA=PB.PC` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>PK.PA=PN.PM`
