Bài này cũng khá cơ bản thôi đi từ điều kiện bài toán.
`xy+1<=x`
`<=>y+1/x<=1`
Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương ta có:
`y+1/x>=2sqrt{y/x}`
`<=>2sqrt{y/x}<=1`
`<=>sqrt{y/x}<=1/2`
`<=>y/x<=1/4`
`Q=(x+y)/sqrt{3x^2-xy+y^2}`
`<=>Q^2=(x+y)^2/(3x^2-xy+y^2)`
`<=>Q^2=(x^2+2xy+y^2)/(3x^2-xy+y^2)`
`<=>Q^2=(1+(2y)/x+y^2/x^2)/(3-y/x+y^2/x^2)`
`<=>9Q^2=(9+(18y)/x+(9y^2)/x^2)/(3-y/x+y^2/x^2)`
`<=>9Q^2-5=(9+(18y)/x+(9y^2)/x^2-(5y^2)/x^2+(5y)/x-15)/(3-y/x+y^2/x^2)`
`<=>9Q^2-5=((4y^2)/x^2+(23y)/x-6)/(3-y/x+y^2/x^2)`
`<=>9Q^2-5=(((4y)/x-1)(y/x+6))/(3-y/x+y^2/x^2)`
`0<=y/x<=1/4`
`<=>9Q^2-5<=0`
`<=>9Q^2<=5`
`<=>Q^2<=5/9`
Mà `Q>=0`
`<=>Q<=sqrt{5/9}=sqrt5/3`
Dấu "=" xảy ra khi `y/x=1/4<=>x=2,y=1/2`
Vậy `Max_Q=sqrt5/3<=>x=2,y=1/2`
