`e)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$
`=>BH^2=BE.BA`
Xét $∆BCH$ vuông tại $H$ có $HF\perp BC$
`=>BH^2=BF.BC`
`=>BE.BA=BF.BC`
`=>{BE}/{BC}={BF}/{BA}`
$\\$
Xét $∆BEF$ và $∆BCA$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {BE}/{BC}={BF}/{BA}` (c/m trên)
`=>∆BE F∽∆BCA` (c-g-c)
`=>\hat{BE F}=\hat{BCA}` $(1)$
$\\$
Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $E F$
Vì $M$ là trung điểm $AC$ (gt)
`=>BM` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $B$
`=>BM=CM=1/2AC`
`=>∆BCM` cân tại $M$
`=>\hat{MBC}=\hat{MCB}=\hat{BCA}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{MBC}=\hat{BEF}`
`=>\hat{IBF}=\hat{BEI}`
Ta có: $∆BEF$ vuông tại $B$
`=> \hat{EBI}+\hat{IBF}=\hat{EBF}=90°`
`=>\hat{EBI}+\hat{BEI}=90°`
`=>\hat{BIE}=180°-(\hat{EBI}+\hat{BEI})=180°-90°=90°`
`=>BM`$\perp E F$ tại $I$ (đpcm)
