a) Ta có: $K$ đối xứng $H$ qua $M\quad (gt)$
$\Rightarrow MH = MK=\dfrac12HK$
Xét tứ giác $BHCK$ có:
$BM = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$
$MH = MK=\dfrac12HK$
Do đó $BHCK$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)
b) Ta có:
$BHCK$ là hình bình hành (câu a)
$\Rightarrow \begin{cases}BH//CK\\CH//BK\end{cases}$
mà $\begin{cases}BH\perp AC\quad (BE\perp AC)\\CH\perp AB\quad (CF\perp AB)\end{cases}$
nên $\begin{cases}CK\perp AC\\BK\perp AB\end{cases}$
c) Ta có: $I$ đối xứng $H$ qua $BC\quad (gt)$
$\Rightarrow BC$ là trung trực của $HI$
Gọi $D$ là giao điểm $HI$ và $BC$
$\Rightarrow DH = DI =\dfrac12HI$
Ta lại có: $MH= MK=\dfrac12HK$
$\Rightarrow MD$ là đường trung bình của $∆HIK$
$\Rightarrow MD//IK$
$\Rightarrow IK//BC$
$\Rightarrow BCKI$ là hình thang đáy $IK$ và $BC\quad (1)$
Mặt khác:
$BC$ là trung trực của $HI$
$\Rightarrow BC$ là phân giác của $\widehat{HBI}$
$\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{IBC}$
Ta lại có:
$BH//CK$ ($BHCK$ là hình bình hành)
$\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{KCB}$ (so le trong)
Do đó:
$\widehat{IBC}=\widehat{KCB}\qquad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow BCKI$ là hình thang cân
d) Khi $HCKG$ là hình thang cân
$\Rightarrow \widehat{GHC}=\widehat{KCH}$
mà $\begin{cases}\widehat{GHC}=\widehat{ABC}\quad\text{(cùng phụ $\widehat{BCH}$)}\\\widehat{KCH}=\widehat{HBK}\quad \text{(BHCK là hình bình hành)}\end{cases}$
nên $\widehat{ABC}=\widehat{HBK}$
$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CBK}$
Mặt khác:
$\quad \begin{cases}\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{BAC}$)}\\\widehat{CBK}=\widehat{HCB} =\widehat{FCB}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{ACF}=\widehat{FCB}$
$\Rightarrow CF$ là phân giác của $\widehat{ACB}$
mà $CF$ là đường cao ứng với cạnh $AB$
$\Rightarrow ∆ABC$ cân tại $C$
Vậy $HCKI$ là hình thang cân $\Leftrightarrow ∆ABC$ cân tại $C$
