Em thấy khá vui khi làm bài này.
Cảm ơn anh cho em bài khá hay
Nhưng mà em làm ra ngược dấu, mong anh đừng report
Ta có:$\dfrac{a^3}{2a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{2b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{2c^2+a^2}$
$=\dfrac{a^2}{\dfrac{2a^2+b^2}{a}}+\dfrac{b^2}{\dfrac{2b^2+c^2}{b}}+\dfrac{c^2}{\dfrac{2c^2+a^2}{c}}$
Áp dụng bđt Schwartz ta có:
$\dfrac{a^2}{\dfrac{2a^2+b^2}{a}}+\dfrac{b^2}{\dfrac{2b^2+c^2}{b}}+\dfrac{c^2}{\dfrac{2c^2+a^2}{c}} >=\dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{2a^2+b^2}{a}+\dfrac{2b^2+c^2}{b}+\dfrac{2c^2+a^2}{c}}$
Mà áp dụng Cauchy $a^2+b^2>=2ab$
$=>2a^2+b^2>=2ab+a^2=a(2b+a)$
Nên $\dfrac{2a^2+b^2}{a}>=\dfrac{a(2b+a}{a}=2b+a$
Tương tự như vậy $\dfrac{2a^2+b^2}{a}+\dfrac{2b^2+c^2}{b}+\dfrac{2c^2+a^2}{c}>=2b+a+2c+b+2a+c=3(a+b+c)$
Nên $\dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{2a^2+b^2}{a}+\dfrac{2b^2+c^2}{b}+\dfrac{2c^2+a^2}{c}}<=\dfrac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{3}$
