Đáp án:
`a,`
Xét `ΔABC` vuông tại `B` có :
`AB^2 + BC^2 = AC^2` (Pitago)
`-> BC^2 = AC^2 - AB^2`
`-> BC^2 = 13^2 - 5^2`
`-> BC^2 = 12^2`
`-> BC = 12cm`
$\\$
Xét `ΔABC` có :
`AB =5cm, AC = 13cm, BC = 12cm`
`-> AB < BC < AC` (Do `5cm < 12cm < 13cm`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`hat{C} < hat{A} < hat{B}`
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔABC` và `ΔDBC` có :
`hat{ABC} = hat{DBC} = 90^o`
`AB = DB` (Do `B` là trung điểm của `AD`)
`BC` chung
`-> ΔABC = ΔDBC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AC = DC` (2 cạnh tương ứng)`
`-> ΔACD` cân tại `C`
$\\$
$\\$
$c,$
Có : `B` là trung điểm của `AD`
`-> CB` là đường trung tuyến của `ΔACD`
Có : `M` là trung điểm của `DC`
`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔACD`
Xét `ΔACD` có :
`CB` là đường trung tuyến
`AM` là đường trung tuyến
`CB` cắt `AM` tại `G`
`-> G` là trọng tâm của `ΔACD`
`-> GB = 1/3 BC`
`-> GB = 1/3 . 12`
`-> GB = 4cm`
$\\$
$\\$
$d,$
Xét `ΔABG` và `ΔDBG` có :
`hat{ABG} = hat{DBG} = 90^o`
`BG` chung
`AB = DB` (Do `B` là trung điểm của `AD`)
`-> ΔABG = ΔDBG` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{NDA} = hat{MAD}` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔNDA` và `ΔMAD` có :
`hat{NDA} = hat{MAD}` (chứng minh trên)
`hat{A} = hat{D}` (Do `ΔACD` cân tại `C`)
`AD` chung
`-> ΔNDA = ΔMAD` (góc - cạnh - góc)
`-> AN = DM` (2 cạnh tương ứng)
mà `DM = 1/2 DC` (Do `M` là trung điểm của `DC`)
`-> AN = 1/2 DC`
mà `DC = AC` (chứng minh trên)
`-> AN = 1/2 AC`
`-> N` là trung điểm của `AC`
`-> DN` là đường trung tuyến của `ΔACD`
`-> DN` đi qua trọng tâm `G`
`-> D,G,N` thẳng hàng
