Đáp án:
a)
Xét tứ giác $MBCN$ có
$NC//BM$ (do $Cy//AB-gt$)
$BC//MN$ (do $Mx//BC-gt$)
$\Rightarrow$ tứ giác $MBCN$ là hình bình hành (1)
Ta có: $AB=2BC\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}AB$
mà $BM=MA=\dfrac{1}{2}AB$ (do $M$ là trung điểm của $AB$-gt)
$\Rightarrow BC=BM$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $MNCN$ là hình thoi
b)
Do tứ giác $MNCN$ là hình thoi nên $BM=MN$
mà $BM=MA=\dfrac{1}{2}AB $ (cmt)
$\Rightarrow BM=MN=MA=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow \triangle BMA$ vuông tại $N$
$\Rightarrow BN\bot AN$
c)
Xét $\triangle ABC$ có
$M$ là trung điểm của $AB$
$MD//BC$
$\Rightarrow D$ là trung điểm của $AC$
Xét $\triangle ACM$ có
$E$ là trung điểm của $CM$ (t/c hình thoi)
$D$ là trung điểm của $AC$ (cmt)
$\Rightarrow DE$ là đường trung bình
$\Rightarrow DE//=\dfrac{1}{2}MA$
Xét $\triangle ANC$ có
$D$ là trung điểm của $AC$
$DF//NC$ (do $DE//MA//NC$)
$\Rightarrow F $ là trung điểm của $AN$
$\Rightarrow DF $ là đường trung bình
$\Rightarrow DF=\dfrac{1}{2}NC$
mà $DE=\dfrac{1}{2}MA$
$NC=BM=MA$
$\Rightarrow DE=DF$
d)
Xét $\triangle BNA$ có $G$ là giao của hai đường trung tuyến $AE$ và $MN$ nê $G$ là trọng tâm của $\triangle BNA$
$\Rightarrow BG$ là đường trung tuyến
mà $BF$ cũng là đường trung tuyến (do $F$ là trung điểm của $AN$ -cmt)
$\Rightarrow BG$ trùng với $BF$ hay $B,G,F$ thẳng hàng.
