a) Do $N$ là trung điểm BC nên ta có

$\vec{AN} =\dfrac{1}{2}( \vec{AB} + \vec{AC})$

Tương tự, ta có

$\vec{BP} = \dfrac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$

$\vec{CM} = \dfrac{1}{2} (\vec{CA} + \vec{CB})$

Khi đó, ta có

$\vec{AN} + \vec{BP} + \vec{CM} = \dfrac{1}{2}( \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{CB})$

$= \dfrac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{AC} + \vec{CA} + \vec{BC} + \vec{CB})$

$= \dfrac{1}{2} \vec{0} = \vec{0}$

Vậy ta có dpcm.

b) Để E, M, F thẳng hàng ta sẽ tìm số k sao cho tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho

$\vec{EM} = n \vec{MF}$

TH1: $k <0$

Vậy ta có $F$ nằm giữa B và C và $BC = BF + FC$. Khi đó

$\dfrac{BF}{BC} = \dfrac{BF}{BF + FC} = \dfrac{kCF}{kCF + CF} = \dfrac{k}{k+1}$ ($k \neq -1$)

Ta sẽ biểu diễn hai vecto trên qua $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

Ta có

$\vec{EM} = \vec{AM} - \vec{AE} = \dfrac{1}{2} \vec{AB} - (-\dfrac{1}{2}\vec{AC}) = \dfrac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC})$

Tiếp theo, ta có

$\vec{MF} = \vec{AF} - \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BF} - \dfrac{1}{2} \vec{AB} = \dfrac{1}{2} \vec{AB} + \dfrac{k}{k+1} \vec{BC}$

$= \dfrac{1}{2} \vec{AB} + \dfrac{k}{k+1} (\vec{AC} - \vec{AB})$

$= \dfrac{1 - k}{2k + 2} \vec{AB} + \dfrac{k}{k+1} \vec{AC}$

Để E, M, F thẳng hàng thì

$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1-k}{2k+2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{k}{k+1}}$

Vậy ta có

$\dfrac{1-k}{2k+2} = \dfrac{k}{k+1}$

Vậy $k = -1$ hoặc $k = \dfrac{1}{3}$ (loại do $k < 0$)

Vậy $k = -1$.

TH2: $k >0$

Khi đó, ta có

$\dfrac{BF}{BC} = \dfrac{BF}{FC - FB} = \dfrac{kFC}{FC - kFC} = \dfrac{k}{1-k}$

Biểu diễn tương tự ta có

$\vec{MF} = \dfrac{1+k}{2(1-k)} \vec{AB} - \dfrac{k}{1-k} \vec{AC}$

Để $\vec{MF}$ và $\vec{EM}$ cùng giá hay

$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1+k}{2(1-k)}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{k}{1-k}}$

Vậy $k = 1$ hoặc $k = -\dfrac{1}{3}$

Áp đk ta cx ko có gtri k nào thỏa mãn.

Vậy gtri duy nhất thỏa mãn đề bài là $k = -1$.

c) Do I nằm trong tam giác nên điểm K phải nằm trên AC. Nếu $\vec{AK} = k \vec{AC}$ thì $k>0$

Ta biểu diễn $\vec{BI}$ và $\vec{IK}$ qua $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

$\vec{BI} = \vec{AI} - \vec{AB} = \dfrac{1}{2} \vec{AG} - \vec{AB} = \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} \vec{AN} - \vec{AB}$

$= \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) - \vec{AB}$

$= \dfrac{1}{6} \vec{AC} - \dfrac{5}{6} \vec{AB}$

Ta lại có

$\vec{IK} = \vec{AK} - \vec{AI} = k \vec{AC} - \dfrac{1}{6} (\vec{AB} + \vec{AC}) = (k-\dfrac{1}{6}) \vec{AC} - \dfrac{1}{6} \vec{AB}$

Để hai vector trên cùng giá thì

$\dfrac{\dfrac{1}{6}}{k-\dfrac{1}{6}} = \dfrac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{6}}$

Khi đó $k = \dfrac{1}{5}$ (TM)