Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và\(BC.\) Mặt phẳng \((DMN)\) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi \({V_1}\) là thể tích của phần chứa đỉnh \(A\) và \({V_2}\) là thể tích của phần còn lại. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng
A.\(\frac{1}{2}\)
B.\(\frac{{55}}{{89}}\)            
C.\(\frac{2}{3}\)
D.\(\frac{{37}}{{48}}\)

Trong không gian \(Oxyz,\)cho điểm \(A\left( {1;3;2} \right),\) mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 10 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( P \right)\) và \(d\) lần lượt tại hai điểm \(M,\)\(N\) sao cho \(A\) là trung điểm của đoạn \(MN.\) Biết \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta ,\) giá trị của \(a + b\) bằng
A.\(11.\)   
B.\( - 11.\)
C.\(3.\)
D.\( - 3.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^3} - 2(2m - 3){x^2} + \left( {5m - 3} \right)x - 2m - 2\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có 5 điểm cực trị ?
A.\(0.\)
B.\(3.\)
C.\(1.\)
D.\(2.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng tùy ý đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) và có hệ số góc âm. Giả sử \(d\) cắt các trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B.\) Quay tam giác \(OAB\) quanh trục \(Oy\) thu được một khối tròn xoay có thể tích là \(V.\) Giá trị nhỏ nhất của \(V\) bằng
A.\(3\pi .\)
B.\(\frac{{9\pi }}{4}.\)
C.\(2\pi .\)
D.\(\frac{{5\pi }}{2}.\)

Gọi \(\left( P \right)\) là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) và \(A,B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành. Khi \(AB = 2,\) mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.\(m \in \left( {4;6} \right).\)
B.\(m \in \left( {2;4} \right).\)     
C.\(m \in \left( { - 3; - 1} \right).\)
D.\(m \in \left( { - 1;2} \right).\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;0; - 1} \right)\) cắt đường thẳng \({\Delta _1}\) và tạo với đường thẳng \({\Delta _2}\) một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng \(d\) là
A.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.\)
B.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\)
C.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.\)    
D.\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx + 9}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)?\)
A.\(5.\)
B.\(3.\)
C.\(4.\)
D.\(2.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a,b,c,d\) là các số thực, có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{e^{{x^2}}}} \right) = m\) có ba nghiệm phân biệt ?
A.\(3.\)     
B.Vô số.
C.\(1.\)
D.\(2.\)

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \cos x\); \(y = 0\); \(x = 0\) và \(x = \frac{\pi }{2}\). Thể tích vật thể tròn xoay có được khi \(\left( H \right)\) quay quanh trục Ox bằng
A.\(\frac{{{\pi ^2}}}{4}.\)
B.\(2\pi .\)
C.\(\frac{\pi }{4}.\)        
D.\(\frac{{{\pi ^2}}}{2}.\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \le 4\,?\)
A.\(5.\)
B.\(4.\)
C.\(6.\)
D.Vô số.