Ta cần chứng minh : $1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2$ $(*)$
+) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng
+) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng
+) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :
$1^3+2^3+....+k^3 = (1+2+...+k)^2$
Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$
Thật vậy ta có :
$1^3+2^3+3^3+.....+(k+1)^3$
$ = (1^3+2^3+....+k^3)+(k+1)^3$
$ = (1+2+....+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$
Ta sẽ chứng minh $2.(k+1).(1+2+.....+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$
Thấy $2.(k+1).(1+2+3+...+k)+(k+1)^2$
$ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$
$ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$
$ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )
Khi đó $(1)$ trở thành :
$1^3+2^3+3^3+....+(k+1)^3 = (1+2+...+k)^2+2.(k+1).(1+2+....+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$
$\to đpcm$
Vậy $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.
