Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Giải chi tiết:Đặt \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\).
Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = 9\,\, \vdots \,\,3\) (Đúng)
Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (Giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 3{k^2} + 6k + 3 + 5k + 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3{k^2} + 9k + 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {A_k} + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\end{array}\)
Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,3\), lại thấy \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).
Kết luận \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho \(3\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
