Đáp án:Schur bậc 3 và 4.
Thi cấp 3 tốt!
Giải thích các bước giải:
Với `a,b,c>0` ta chứng minh:`a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0`
Giả sử:`a>=b>=c>0`
`=>a(a-b)(a-c)>=b(a-b)(b-c)`
`<=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)>=0(1)`
Mặt khác:`c-a<=0,c-b<=0`
`=>(c-a)(c-b)>=0`
`<=>c(c-a)(c-b)>=0(2)`
Cộng từng vế `(1)(2)`
`=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0(đpcm)(3)`
`\text{Hệ quả 1}:a^3+b^3+c^3+3abc>=ab^2+a^2b+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2`
Theo `(3):a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0`
`<=>(a^2-ab)(a-c)+(b^2-ab)(b-c)+(c^2-ac)(c-b)>=0`
`<=>a^3-a^2b-a^2c+abc+b^3-b^2c-ab^2+abc+c^2-a^2c+abc-bc^2`
`<=>a^3+b^3+c^3+3abc>=ab^2+a^2b+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2(đpcm)(4)`
`\text{Hệ quả 2}:(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc`
`<=>(a^2-ab+ac+ab-b^2+bc-ca+bc-c^2)(-a+b+c)<=abc`
`<=>(a^2-b^2-c^2+2bc)(-a+b+c)<=abc`
`<=>-a^3+a^2b+ab^2-b^3-b^2c+c^2a-c^2b-c^3-2abc+2b^2c+2bc^2<=abc`
`<=>-a^3-b^3-c^3+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2<=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2`(Theo `(4)`)
`\text{Hệ quả 3}:(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`
`a^3+(b+c)^3+3a(b+c)(a+b+c)+9abc>=4(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+3abc)`
`<=>a^3+b^3+c^3+3b^2c+3bc^2+3a(ab+b^2+bc+ac+bc+c^2)+9abc>=4(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+3abc)`
`<=>a^3+b^3+c^3+3(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2)+15abc>=4(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2)+12abc`
`<=>a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2`(Theo `(4)`)
Dấu "=" xảy ra tại các hệ quả và BĐT kìa đều là `a=b=c`.
