Đáp án:
$C.\ \dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}AB = BC = CD = DA = a\\\widehat{ABC}= 60^\circ\end{cases}$
$\Rightarrow \triangle ABC,\ \triangle ACD$ đều
$\Rightarrow S_{ABC} = S_{ACD} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Ta lại có:
$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^\circ$
$\Rightarrow SA = AC.\tan\widehat{SCA} = a.\tan60^\circ = a\sqrt3$
Mặt khác:
$\begin{cases}SA\perp (ABCD)\\AB = AC = AD = a\end{cases}$
$\Rightarrow SB = SC = SD = 2a$ (Áp dụng định lý $Pythagoras$)
$\Rightarrow S_{SBC} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}$
Khi đó:
$\quad V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{SBC}.d(A;(SBC))$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SA = \dfrac{1}{3}S_{SBC}.d(A;(SBC))$
$\Leftrightarrow d(A;(SBC)) = \dfrac{S_{ABC}.SA}{S_{SBC}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Bên cạnh đó:
$AD//BC$
$\Rightarrow AD//(SBC)$
$\Rightarrow d(A;(SBC)) = d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
mà $SI = ID = \dfrac12SD$
nên $d(I;(SBC)) = \dfrac12d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
