đường thẳng cần tìm có dạng : \(y+ax+b=0\) \(\left(d\right)\)

ta có : điểm M thuộc đường thẳng \(\left(d\right)\) nên ta có : \(3+4a+b=0\) (1)

ta lại có : đường thẳng \(\left(d\right)\) tiếp xúc với đường tròn \(\left(c\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)

nên khoảng cách từ tâm \(I\left(1;2\right)\) đến đường thẳng \(\left(d\right)\) bằng R

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2+a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1\) \(\Leftrightarrow\left|2+a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2+a+b\right)^2=a^2+b^2\) (2 quế đều dương)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4+2ab+4b+4a=a^2+b^2\Leftrightarrow2ab+4a+4b+4=0\)(2)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}3+4a+b=0\left(1\right)\\2ab+4a+4b+4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

rút \(a\) từ \(\left(1\right)\) thế vào \(\left(2\right)\) giải được \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-9+\sqrt{17}}{8}\\b=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-9-\sqrt{17}}{8}\\b=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) đường thẳng đi qua điểm \(M\left(4;3\right)\) và tiếp xúc với đường tròn \(\left(c\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\) là \(y+\dfrac{-9+\sqrt{17}}{8}x+\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\)

và \(y+\dfrac{-9-\sqrt{17}}{8}x+\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\)

vậy có \(2\) đường thẳng thỏa mãn bài toán