Đáp án:
Bạn xem lại đề nhé!
Giải thích các bước giải:
Đặt \(t = \tan x + 2 \Rightarrow dt = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 2,x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 3\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\ln \left( {\tan x + 2} \right)dx} = \int\limits_2^3 {\left( {t - 2} \right)\ln tdt} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = \left( {t - 2} \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = \dfrac{{{t^2}}}{2} - 2t\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 2t} \right)\ln t} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\left( {\dfrac{t}{2} - 2} \right)dt} \\ = \left( {\dfrac{9}{2} - 6} \right)\ln 3 - \left( {\dfrac{4}{2} - 4} \right)\ln 2 - \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{4} - 2t} \right)} \right|_2^3\\ = - \dfrac{3}{2}\ln 3 + 2\ln 2 - \left( {\dfrac{9}{4} - 6 - \dfrac{4}{4} + 4} \right) = - \dfrac{3}{2}\ln 3 + 2\ln 2 + \dfrac{3}{4}\end{array}\)
