Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB\to \widehat{BEC}=\widehat{BFC}\to \Diamond BFEC $ nội tiếp
b.Ta có $ON//AK(\perp BC)\to \widehat{NOI}=\widehat{KAI}=\widehat{OKA}=\widehat{KON}$
$\to N$ là điểm chính giữa cung KI
$\to ON\perp KI\to KI//BC(\perp ON)$
$\to AN$ là phân giác $\widehat{KAI}$
c.Ta có $ON\perp OC\to N$ là điểm chính giữa cung BC
$\to \widehat{BAD}=\widehat{NAC}$
Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ANC}\to \Delta ABD=\Delta ANC(g.g)$
$\to \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{BD}{NC}\to AB.NC=AN.BD$
d.Trước hết ta chứng minh bài toán cho $\Diamond ABCD$ nội tiếp$\to AC.BD=BC.AC+AB.CD$
Lấy điểm $E\in AC, \widehat{ABE}=\widehat{CBD}$
$\to\Delta ABE\sim\Delta DBC$ và $\Delta CBE\sim\Delta DBA$
$\to AC.CD=AE.BD, BC.AD=CE.BD$
$\to AB.CD+CE.BD=AE.BD+CE.BD=AC.DB\to đpcm$
Ta có $\Diamond ABCK$ nội tiếp $\to AB.CK+AC.BK=BC.AK$