Lời giải:

a) Xét tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{A} = 90^\circ\quad (gt)$

$\widehat{M} = 90^\circ\quad (HM\perp AB)$

$\widehat{N} = 90^\circ\quad (HN\perp AC)$

Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow MN = AH$

b) Xét $ΔAMH$ và $ΔAHB$ có:

$\widehat{M} = \widehat{H} =90^\circ$

$\widehat{A}:$ góc chung

Do đó $ΔAMH \sim ΔAHB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AH} = \dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AM.AB = AH^2\qquad (1)$

Xét $ΔANH$ và $ΔAHC$ có:

$\widehat{N} = \widehat{H} = 90^\circ$

$\widehat{A}:$ góc chung

Do đó $ΔANH \sim ΔAHC\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AN}{AH} = \dfrac{AH}{AC}$

$\Rightarrow AN.AC = AH^2 \qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow AM.AB = AN.AC\quad (=AH^2)$

c) Ta có:

$AMHN$ là hình chữ nhật (câu a)

$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{HAM} = \widehat{HNM} = \widehat{AHN}$

Ta lại có:

$\widehat{KMB} = \widehat{AMN}$ (đối đỉnh)

$\widehat{KCN} = \widehat{ACB} = \widehat{HAM}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)

Do đó: $\widehat{KMB} = \widehat{KCN}$

Bên cạnh đó:

$\widehat{KHM} = \widehat{BHM} = \widehat{HAM}$ (cùng phụ $\widehat{AHM}$)

Do đó: $\widehat{KHM} = \widehat{HNM} = \widehat{HNK}$

Xét $ΔKMB$ và $ΔKCN$ có:

$\widehat{KMB} = \widehat{KCN}\quad (cmt)$

$\widehat{K}:$ góc chung

Do đó $ΔKMB \sim ΔKCN\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{KM}{KC} = \dfrac{KB}{KN}$

$\Rightarrow KB.KC = KM.KN\qquad (3)$

Xét $ΔKMH$ và $ΔKHN$ có:

$\widehat{KHM} = \widehat{HNK}\quad (cmt)$

$\widehat{K}:$ góc chung

Do đó $ΔKMH \sim ΔKHN\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{KM}{KH} = \dfrac{KH}{KN}$

$\Rightarrow KH^2 = KM.KN\qquad (4)$

Từ $(3)(4)\Rightarrow KB.KC = KH^2$

d) Xét $ΔABC$ vuông tại $A$ có:

$O$ là trung điểm cạnh huyền $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow ΔOAB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

$\Rightarrow \widehat{OAM} = \widehat{ABH}$

Ta lại có:

$\widehat{AMN} = \widehat{HAM} = \widehat{HAB}$

$\widehat{HAB} + \widehat{ABH} = 90^\circ$

Do đó: $\widehat{AMN} + \widehat{ABH} = 90^\circ$

Hay $\widehat{AMN} + \widehat{OAM} =90^\circ$

$\Rightarrow OA\perp MN$

$\Rightarrow KI\perp OA$

Xét $ΔAOK$ có:

$KI\perp OA\quad (cmt)$

$AI\perp OK\quad (AH\perp BC)$

$\Rightarrow I$ là trực tâm của $ΔAOK$

$\Rightarrow OI\perp AK$

e) Ta có:

$\quad AH.BC = AB.AC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC}$

Do đó:

$\quad \dfrac{AH}{AO} = \dfrac{40}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB.AC}{BC.AO} = \dfrac{40}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2AB.AC}{BC.BC} = \dfrac{40}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB.AC}{BC^2} = \dfrac{20}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB.AC}{AB^2 + AC^2} = \dfrac{20}{41}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB^2 + AC^2}{AB.AC} = \dfrac{41}{20}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{AC} + \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{41}{20}$

$\Leftrightarrow 20\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 - 41\cdot \dfrac{AB}{AC} + 20 = 0$

$\Leftrightarrow \left(5\cdot\dfrac{AB}{AC} -4\right)\left(4\cdot\dfrac{AB}{AC} - 5\right) =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{AB}{AC} = \dfrac45\quad (nhận)\\\dfrac{AB}{AC} = \dfrac54\quad (loại\,\,do\,\,AB<AC)\end{array}\right.$

Vậy $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac45$