Đặt: $A=2+2\sqrt{1+12n^2}$
$A$ là số tự nhiên
$\to 2+2\sqrt{1+12n^2}$ là số tự nhiên
$\to 2\sqrt{1+12n^2}$ là số tự nhiên
$\to \sqrt{1+12n^2}$ là số tự nhiên
Đặt: $\sqrt{1+12n^2}=B(B\in N)$
$\to 1+12n^2=B^2$ là số chính phương
$12n^2$ chẵn $\to 12n^2+1$ lẻ
$\to B^2$ lẻ $\to B$ lẻ
Đặt: $B=2k+1(k\in N)$
$\to (2k+1)^2=1+12n^2$
$\to 4k^2+4k=12n^2$
$\to k^2+k=3n^2$
$\to k(k+1)=3n^2$
Vì $3$ nguyên tố và $(k;k+1)=1$ nên $k,k+1$ là 2 số chính phương
$\to k=3a^2,k+1=b^2$ hoặc $k=b^2,k+1=3a^2$ ($a,b\in N$)
TH1: $k=3a^2,k+1=b^2$
$\to k=b^2-1\to 2k+1=2b^2-2+1=2b^2-1\to \\\sqrt{1+12n^2}=2b^2-1\\\to A=2+2(2b^2-1)=2+4b^2-2=4b^2=(2b)^2$
$\to A$ là số chính phương.
TH2: $k=b^2,k+1=3a^2$
$\to b^2+1=3a^2$
Nhận thấy: $3a^2≡0\pmod{3}$
Mặt khác: $b^2≡0,1\pmod{3}$
$\to b^2+1≡1,2\pmod{3}$(Mâu thuẫn)
Vậy ta có đpcm.
