Thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\sqrt{3}\)bằng: A.\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}\) B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) C.\(\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}\) D.\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD ta có \(AH\bot \left( BCD \right)\) Khi đó ta có: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}\) Ta có: \({{S}_{BCD}}=\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}\) Gọi M là giao điểm của BH với CD ta có: \(BM=\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}\) Khi đó ta có: \(BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{3a}{2}=a\) Xét tam giác vuông ABH vuông tại H ta có: \(A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AH=a\sqrt{2}\) Vậy \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}\) Chọn đáp án D.