Đáp án:
$x$ = {$-1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9$}
Giải thích các bước giải:
$x( x - 1 )( x - 7 )( x - 8 ) = x( x - 8 )( x - 1 )( x - 7 )$
= $( x^{2} - 8x )( x^{2} - 8x + 7 )$
Đặt $x^{2} - 8x = a$
⇒ $x( x - 1 )( x - 7 )( x - 8 ) = a( a + 7 )$
$a( a + 7 )$ là số chính phương
⇒ $a^{2} + 7a = k^{2} ( k ∈ N )$
⇔ $4a^{2} + 28a = 4k^{2}$
⇔ $4a^{2} + 28a + 49 = 4k^{2} + 49$
⇔ $( 2a + 7 )^{2} - 4k^{2} = 49$
⇔ $( 2a + 7 - 2k )( 2a + 7 + 2k ) = 49 = ±1 × ±49 = ±49 × ±1 = ±7 × ±7$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=1} \atop {2a+7+2k=49}} \right.$
⇒ $a = 9 ; k = 12$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=-1} \atop {2a+7+2k=-49}} \right.$
⇒ $a = -16 ; k = -12$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=49} \atop {2a+7+2k=1}} \right.$
⇒ $a = 9 ; k = -12$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=-49} \atop {2a+7+2k=-1}} \right.$
⇒ $a = -16 ; k = 12$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=7} \atop {2a+7+2k=7}} \right.$
⇒ $a = 0 ; k = 0$
+) $\left \{ {{2a+7-2k=-7} \atop {2a+7+2k=-7}} \right.$
⇒ $a = -7 ; k = 0$
Kết hợp các trường hợp trên
⇒ $a$ = {$-16; -7; 0 ; 9$}
Với $a = -16 ⇔ x^{2} - 8x = -16$
⇔ $( x - 4 )^{2} = 0$
⇔ $x = 4$
Với $a = -7 ⇔ x^{2} - 8x = -7$
⇔ $x^{2} - 8x + 7 = 0$
⇔ $( x - 1 )( x - 7 ) = 0$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=7\end{array} \right.\)
Với $a = 0 ⇔ x^{2} - 8x = 0$
⇔ $x( x - 8 ) = 0$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=8\end{array} \right.\)
Với $a = 9 ⇔ x^{2} - 8x = 9$
⇔ $x^{2} - 8x - 9 = 0$
⇔ $( x + 1 )( x - 9 ) = 0$
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=9\\x=-1\end{array} \right.\)
Vậy $x$ = {$-1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9$}
