Giả sử : \(2\le c\le b\le a\left(1\right)\)
Từ \(abc< ab+bc+ca\) chia 2 vế cho \(abc\) ta được :
\(1< \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) Ta có :
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\le\dfrac{3}{c}\Rightarrow1< \dfrac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)
Thây \(c=2\) vào \(\left(2\right)\) ta có :
\(\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)
Vì b là số nguyên tố nên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\b=3\end{matrix}\right.\)
+) Với b = 2 \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>0\) với mọi a
+) Với b = 3\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow a< 6\)
Mà a là số nguyên tố nên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\a=5\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(5,3,2\right);\left(3,3,2\right);\left(a,2,2\right)\) đứng với mọi số nguyên tố a
