Giả sử phân số \(\dfrac{5n+17}{2n+1}\) chưa tối giản
=> 5n + 17 và 2n + 1 có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố d là ước chung của 5n + 17 và 2n + 1
=> \(\left\{{}\begin{matrix}5n+17⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}10n+34⋮d\\10n+5⋮d\end{matrix}\right.\)
=> 29\(⋮\)d
Vì d là số nguyên tố, 29 \(⋮\) d => d = 29
d = 29 => 2n + 1 \(⋮\) 29
Mà 29 \(⋮\) 29
=> 2n - 28 \(⋮\) 29
2(n - 14) \(⋮\) 29
=> n - 14 \(⋮\) 29 (do 2 và 29 nguyên tố cùng nhau)
=> n = 29k + 14 (k \(\in\) N)
Khi đó 5n + 17 = 5(29k + 14) + 17 = 145k + 87 \(\in\) 29
Vậy khi n = 29k + 14 thì 5n + 17 và 2n + 1 chưa nguyên tố cùng nhau
Vậy n \(e\) 29k + 14 thì phân số \(\dfrac{5n+17}{2n+1}\) tối giản
