1.
$\lim\limits_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+2x}+x)$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}x(\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1)$
$=+\infty$
2.
$\lim\limits_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+2x}-x)$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{x\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+x}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+1}$
$=\dfrac{2}{1+1}=1$