Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.
A. \(M(1;3;1)\) 
B. \(M(3;1;1)\)
C. \(M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3} \right)\)
D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;-1),B(-1;3;-1)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|\) nhỏ nhất.
A. \(M(1;3;1)\)                            
B. \(M(0;0;3)\)                            
C. \(M(6;0;0)\)                            
D. \(M(2;2;1)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y=z\) và \(A(0;0;1),B(0;1;0)\). Tìm \(M\in (d)\)sao cho \(\left| \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM} \right|\) min.
A. \(M(-1;-1;-1)\)            
B. \(M(1;1;1)\)                            
C. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\)                   
D. \(M\left( -\frac{1}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\)

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\). Gọi \(M,\, N\) lần lượt là trung điểm của \(BB’,\, CC’\). Mặt phẳng \((A’MN)\) chia khối lăng trụ thành hai phần, \({{V}_{1}}\) là thể tích của phần đa diện chứa điểm \(B\), \({{V}_{2}}\) là phần đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.\)
A.\(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{2}\)
B.\(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\) 
C.\(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=3\)
D.\(\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{2}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng\(d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}\). Tìm \(M\in d\)sao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M(4;4;4)\)                        
B. \(M\left( -\frac{8}{7};\frac{4}{7};\frac{16}{7} \right)\)            
C. \(M\left( -\frac{8}{7};\frac{4}{7};-\frac{16}{7} \right)\)                  
D. \(M\left( 1;2;3 \right)\)

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A.Cho đường thẳng \(a\bot \left( \alpha  \right),\) mọi mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa a thì \(\left( \beta  \right)\bot \left( \alpha  \right).\)
B.Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa a và mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa b thì \(\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right).\)
C.Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
D.Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y+1=z-1\) và \(A(2;1;0),B(-4;-5;3)\). Tìm \(M\in (d)\)sao cho (MA+MB) nhỏ nhất.
A.\(M(-1;-2;0)\)             
B. \(M(1;0;2)\)                            
C.\(M(2;1;3)\)                            
D. \(M(0;-1;1)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x-y+2z-14=0\). Tìm điểm \(M\in (S)\) để \(d(M;P)\) đạt GTLN.
A. \(M\left( -2;1;-2 \right)\)                    
B. \(M(-1;-1;-3)\)            
C. \(M\left( 2;1;-2 \right)\)                     
D. \(M(1;1;3)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\((S):{{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{7}{3} \right)}^{2}}=\frac{8}{3}\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x+y+z-3=0\)Tìm điểm \(M\in (P)\)để từ M kẻ được đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left( \frac{26}{9};\frac{8}{9};-\frac{7}{9} \right)\)                
B. \(M(1;1;1)\)                            
C.\(M(2;1;0)\)                            
D. \(M(3;0;0)\)

Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng cách qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là 1 cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến được vị trí B.
A. \(\frac{1}{2}\)                                 
B.\(\frac{2}{3}\)                              
C.\(\frac{3}{4}\)                                 
D.\(\frac{5}{12}\)