Đáp án:

$\lim\limits_{x\to 2021}\sin(x-2021)\sin\dfrac{1}{x-2021}=0$

Giải thích các bước giải:

$\quad \lim\limits_{x\to 2021}\sin(x-2021)\sin\dfrac{1}{x-2021}$

$= \lim\limits_{x\to 2021}\sin(x-2021)\cdot \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021}$

$= \sin(2021-2021)\cdot \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021}$

$= 0\cdot \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021}$

Ta có:

$\quad -1 \leqslant \sin\dfrac{1}{x-2021}\leqslant 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leqslant \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021} \leqslant 1$

$\Leftrightarrow 0 \leqslant 0\cdot \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021} \leqslant 0$

Do đó:

$\quad \lim\limits_{x\to 2021}\sin\dfrac{1}{x-2021} = 0$

hay $\lim\limits_{x\to 2021}\sin(x-2021)\sin\dfrac{1}{x-2021} = 0$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo

Với $∀t : 0 < |sin\dfrac{1}{t}| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |tsin\dfrac{1}{t}| ≤ |t| $

Vì $ \lim_{t \to 0} 0 = \lim_{t \to 0} |t| = 0$ nên  theo đl kẹp:

$ ⇒ \lim_{t \to 0} |tsin\dfrac{1}{t}| = 0 ⇒ \lim_{t \to 0} tsin\dfrac{1}{t} = 0 (1)$

Mặt khác $: \lim_{t \to 0}\dfrac{sint}{t} = 1 (2)$ (đã cm trong $SGK$)

Đặt $: t = x - 2021 ; x → 2021 ⇒ t → 0$

Áp dụng $(1); (2)$ ta tính được:

$ \lim_{x \to 2021} sin(x - 2021).sin\dfrac{1}{x - 2021} = \lim_{t \to 0} sint.sin\dfrac{1}{t} $

$ = \lim_{t \to 0} (\dfrac{sint}{t}).(tsin\dfrac{1}{t}) = \lim_{t \to 0}\dfrac{sint}{t}.\lim_{t \to 0} tsin\dfrac{1}{t} = 1.0 = 0$