Ta có: (x+x2+2007)(−x+x2+2007)=2007 (1)
(y+y2+2007)(−y+y2+2007)=2007 (2)
Nhân theo vế của (1) và (2) ta được và ta kết hợp với giả thiết ta được:
2007(−x+x2+2007)(−y+y2+2007)=20072
⇒(−x+x2+2007)(−y+y2+2007)=2007
⇒xy−xy2+2007−yx2+2007+(x2+2007)(y2+2007)=2007 (3)
Giả thiết
xy+xy2+2007+yx2+2007+(x2+2007)(y2+2007) (4)
Cộng theo vế (3) và (4) ta được:
xy+(x2+2007)(y2+2007)=2007
⇔(x2+2007)(y2+2007)=2007−xy
⇒x2y2+2007(x2+y2)+20072=20072−2.2007xy+x2y2
⇒x2+y2=−2xy
⇒(x+y)2=0
⇒S2=0⇒S=0