Đáp án đúng: D Giải chi tiết:\(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là tổng của 5n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có \({u_1} = 1\) và q = 2. \( \Rightarrow S = {S_{5n}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{5n}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{5n}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{5n}} - 1 = {32^n} - 1\) Với n = 0 ta có \(S = {32^0} - 1 = 0\) Với n = 1 ta có \(S = 32 - 1 = 31\) chia hết cho 31. Ta chứng minh S chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp toán học. Hiển nhiên đúng với n = 1. Giả sử \({32^k} - 1\) chia hết cho 31, ta chứng minh \({32^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 31. Ta có \({32^{k + 1}} - 1 = {32^k}.32 - 1 = \left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31\) Ta có \({32^k} - 1\) chia hết cho 31 \( \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right).32} \right]\,\, \vdots \,31 \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31} \right]\,\, \vdots \,31\) Vậy \({32^n} - 1\) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n. Chọn D.
