Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\), \(B\left( {0;\sin \alpha \cos \beta ;0} \right)\), \(C\left( {0;0;\cos \alpha } \right)\), trong đó \(\alpha ,\beta \) là hai số thực thay đổi. Biết rằng tập hợp tâm mặt cầu ngo

2412nguyenthuylinh

2 năm trước

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\), \(B\left( {0;\sin \alpha \cos \beta ;0} \right)\), \(C\left( {0;0;\cos \alpha } \right)\), trong đó \(\alpha ,\beta \) là hai số thực thay đổi. Biết rằng tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp \(O.ABC\) là một mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\) không đổi. Tìm \(R\)?
A.\(1\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(\dfrac{1}{4}\)
D.\(\dfrac{1}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 16 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

2412nguyenthuylinh

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
\(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\) nên \(A\) nằm trên trục \(Ox\)
\(B\left( {0;\sin \alpha \cos \beta ;0} \right)\) nên \(B\) nằm trên trục \(Oy\)
\(C\left( {0;0;cos\alpha } \right)\) nên C nằm trên trục \(Oz\)
Do đó \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\)
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên trung điểm \(M\) của \(AB\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\).
Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với mp\(\left( {OAB} \right)\)
Dựng mặt phẳng trung trực đi qua \(N\) của \(OC\) cắt \(d\) tại \(I\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).
Tứ giác \(OMIN\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó \(IM = ON = \dfrac{{OC}}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}O{I^2} = O{M^2} + I{M^2}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{OC}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2}}}{4} + \dfrac{{O{C^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\left( {\sin \alpha \sin \beta } \right)}^2} + {{\left( {\sin \alpha \cos \beta } \right)}^2} + {{\left( {\cos \alpha } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\beta + {{\cos }^2}\beta } \right) + {{\cos }^2}\alpha }}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{4} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Suy ra \(I\) nằm trên mặt cầu tâm \(O\) bán kính không đổi \(R = \dfrac{1}{2}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Với \(x < 0\) hãy rút gọn biểu thức \(N = \sqrt {{x^2}} + \sqrt[3]{{{x^3}}}\)
A.\(N = 2x\)
B.\(N = 0\)
C.\(N = x\)
D.\(N = - 2x\)

Cho đường tròn \(\left( {O;6cm} \right)\), khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây cung bằng \(4cm.\) Độ dài dây cung là:
A.\(4\sqrt 2 cm\)
B.\(2\sqrt {13} cm\)
C.\(4\sqrt 5 cm\)
D.\(2\sqrt 5 cm\)

Với \(x \ne 0\) và \(y < 0\). Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{3}{{2{x^2}y}}.\sqrt {4{x^4}{y^2}} .\)
A.\(M = 3\)
B.\(M = 6\)
C.\(M = - 3\)
D.\(M = - 6\)

Công ty ông Bình dự định đóng một thùng phi hình trụ (có đáy dưới và nắp đạy phía trên) bằng thép không rỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho \(1{m^2}\) thép không rỉ là \(350.000\)đ. Với chi phí không quá \(6.594.000\)đ, hỏi công ty ông BÌnh có thể có được một thùng phi đựng được tối đa bao nhiêu tấn nước? (Lấy \(\pi = 3,14\)).
A.\(12,56\)
B.\(6,28\)
C.\(3,14\)
D.\(9,52\)

Cho hình chóp \(S.ABC\) có dáy là tam giác đều cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\)?
A.\(\dfrac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}\)
B.\(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\)
C.\(\dfrac{{\pi {a^2}}}{3}\)
D.\(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{9}\)

Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào là đường thẳng tạo với trục hoành một góc \({45^0}.\)
A.\(y = 45x - 1\)
B.\(y = - 45x - 1\)
C.\(y = x - 45\)
D.\(y = 2x + 45\)

Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hầm số \(y = x + \dfrac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;8} \right]?\)
A.\(m = \dfrac{{17}}{2}\)
B.\(m = 5\)
C.\(m = 4\)
D.\(m = - 4\)

Tìm \(x\) biết: \(5\sqrt x = 10\)
A.\(x = 4\)
B.\(x = \pm 4\)
C.\(x = 2\)
D.\(x = \pm 2\)

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực trị tại các điểm \({x_1};{x_2};{x_3}\). Tính \(S = {x_1} + {x_2} + {x_3}?\)
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\( - 1\)
D.\( - 2\)

Đường thẳng \(y = x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) tại mấy điểm phân biệt?
A.\(2\)
B.\(4\)
C.\(1\)
D.\(3\)