Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh \(a\). Trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho \(SA = a\). Mặt cầu đường kính AC cắt các đường thẳng SB, SC, SD lần lượt tại \(M \ne B,\,\,N \ne C,\,\,P \ne D\). Tính diện tích tứ giác AMNP?A.\(\dfrac{{

buinhung234

2 năm trước

Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh \(a\). Trên đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho \(SA = a\). Mặt cầu đường kính AC cắt các đường thẳng SB, SC, SD lần lượt tại \(M \ne B,\,\,N \ne C,\,\,P \ne D\). Tính diện tích tứ giác AMNP?
A.\(\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}\)
B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{12}}\)
C. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 26 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

vietviet

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Gọi \(O = AC \cap BD\).
Do M thuộc mặt cầu đường kính AC \( \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0} \Rightarrow MC \bot MA\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\)
\( \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SB\) và \(AM \bot SC\).
Chứng minh tương tự ta có \(AP \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AP \bot SC;\,\,AP \bot SD\).
N thuộc mặt cầu đường kính \(AC \Rightarrow \widehat {ANC} = {90^0} \Rightarrow AN \bot SC\).
\( \Rightarrow SC \bot \left( {AMNP} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC ta có \(SN = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\) và \(\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD ta có \(\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\end{array}\)
Lại có \({V_{S.AMNP}} = \dfrac{1}{3}SN.{S_{AMNP}} \Rightarrow {S_{AMNP}} = \dfrac{{3{V_{S.AMNP}}}}{{SN}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{{18}}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2;0} \right);\,\,B\left( {3;2; - 1} \right);\,\,C\left( { - 1; - 4;4} \right)\). Tìm tập hợp tất cả các điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 52\).
A.Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0; - 1} \right)\) bán kính \(r = 2\)
B.Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;0; - 1} \right)\) bán kính \(r = \sqrt 2 \)
C.Mặt cầu tâm \(I\left( {1;0;1} \right)\) bán kính \(r = \sqrt 2 \)
D. Mặt cầu tâm \(I\left( {1;0;1} \right)\) bán kính \(r = 2\)

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Tính tổng các phần tử của S.
A. \(\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
B.\(\dfrac{{2 + \sqrt 5 }}{2}\)
C.\(0\)
D.\(\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)

Tính tổng tất cả các giá tri của m biết đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) và đường thẳng \(y = x + 4\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right)\), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng \(8\sqrt 2 \) với \(I\left( {1;3} \right)\).
A.3
B.8
C.1
D.5

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\ln x}}\,\,\left( {x > 0,\,\,x \ne 1} \right)\).
A.\(y' = \dfrac{{\ln x - x - 1}}{{x{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}\)
B.\(y' = \dfrac{{x\ln x - x - 1}}{{x{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}\)
C.\(y' = \dfrac{{\ln x - x - 1}}{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}\)
D. \(y' = \dfrac{{x\ln x - x - 1}}{{x\ln x}}\)

Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi } \right]\).
A.7
B.6
C.4
D.5

Việt Nam là quốc gia nằm ở phía Đông của bán đảo Đông Dương thuộc khu vực Đông Nam Á. Với dân số ước tính 93,7 triệu dân vào đầu năm 2018, Việt Nam la quốc gia đông dân thứ 15 trên thế giới và là quốc gia đông dân thứ 8 của châu Á, tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 1,2%. Gia sử rằng tỉ lệ tăng dân số từ năm 2018 đến năm 2030 không thay đổi từ dân số nước ta đầu năm 2030 khoảng bao nhiêu?
A. 118,12 triệu dân
B.106,12 triệu dân
C. 128,12 triệu dân
D.108,12 triệu dân

Dãy số nào là cấp số cộng?
A.\({u_n} = n + {2^n}\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\)
B.\({u_n} = 3n + 1\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\)
C.\({u_n} = {3^n}\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\)
D. \({u_n} = \dfrac{{3n + 1}}{{n + 2}}\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;0;1} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
A.\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 7 }}\)
B.\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 7 }}\)
C.\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ - 3}}{{2\sqrt 7 }}\)
D.\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{3}{{2\sqrt 7 }}\)

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + x + 3}}{{x - 2}}\) trên \(\left[ { - 2;1} \right]\). Tính \(T = M + 2m\).
A.\(T = - \dfrac{{25}}{2}\)
B.\(T = - 11\)
C.\(T = - 7\)
D.\(T = - 10\)

Cho khối chóp \(SABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\;\;SA = a,\;AB = a,\;AC = 2a,\;\angle BAC = {120^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(SABC.\)
A.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
B.\({a^3}\sqrt 3 \)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến